矩阵转置

有几个卡尔曼滤波器方程需要矩阵转置。这些矩阵很好识别，因为它们都有T上标。例如，矩阵 \mathbf{A} 的转置为 \mathbf{A^T}

下面是三个包含矩阵转置的方程：

\mathbf{P_{k|k-1}} = \mathbf{F_{k}} \mathbf{P_{k-1|k-1}} \mathbf{F_{k}^T} + \mathbf{Q_{k}}

\mathbf{S_{k}} = \mathbf{H_{k}} \mathbf{P_{k|k-1}} \mathbf{H_{k}^T} + \mathbf{R_{k}}

\mathbf{K_{k}} = \mathbf{P_{k|k-1}} \mathbf{H_{k}^T} \mathbf{S_{k}}^{-1}

转置究竟是什么？

你可以将转置视为切换行和列，从而把矩阵行变成列，或者列编程行。

下面是一个例子。对这个矩阵，

\begin{bmatrix}3 & 25 & 9 & 2 & 4 \\ 7 & 15 & 6 & 92 & 17 \\31 & 18 & 0 & 11 & 8\end{bmatrix}

转置结果为

\begin{bmatrix}3 & 7 & 31 \\ 25 & 15 & 18 \\ 9 & 6 & 0 \\ 2 & 92 & 11 \\ 4 & 17 & 8\end{bmatrix}

原始矩阵大小为 3x5。转置后为 5x3。

下面，我们讲解一下具体步骤。这个图像的颜色编码可以匹配原始矩阵的值和转置矩阵的值。把行转换为列之后，矩阵操作如下：

你也可以把转置看成将列转为行：

在数学上，你正在转换矩阵中每个元素的 i 和 j 值。例如，第三行第四列的元素是 11。矩阵转置后，11 现在位于第四行第三列。矩阵转置的正式数学定义是

[\mathbf{A^T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}

转置计算的用途

要使用卡尔曼滤波器方程，你需要计算 \mathbf{F} \text{ and } \mathbf{H} 矩阵的转置。

矩阵转置还有另外一个用途：矩阵乘法。在以前的矩阵乘法练习中，你编写过一个返回矩阵列的函数。矩阵列可以帮助我们找到矩阵 \mathbf{A} 中的一行和矩阵 \mathbf{B} 中一列的点积。

结果应该是这样的：

如果取矩阵 \mathbf{B} 的转置，结果如何？ \mathbf{B} 中所有列变为行。然后，矩阵乘法函数需要计算 \mathbf{A} 的行和 \mathbf{B^T} 的行的卷积：

你计算的不是 AB^T 的乘积。你正在利用矩阵转置来让矩阵乘法的编程更容易。

在前面的编码练习中，将矩阵列转换为水平向量的get_column 函数本质上是一个转置。

在这部分课程的编码练习中，你不仅要编写转置函数，还要编写一个利用矩阵转置的新乘法函数。

矩阵转置编程

这个问题和前面碰到的类似。你需要使用嵌套循环。但这个嵌套循环应该是什么样的呢？

你可以遍历整个矩阵，就像遍历外循环中的行和内循环中的列一样：

for i in range(len(matrixA)):
for j in range(len(matrixA[0])):
print(matrixA[i][j])

矩阵的转置将需要将每个 i、j 元素存储在新矩阵的 j、i 位置上。但如何填充这个新的矩阵？首先，你需要在列表中创建一个 n x m 的列表，并用空值填充此嵌套列表。这听起来有点复杂。

有没有更有效的方法来进行矩阵转置编程？你可以考虑一下，如先遍历外部 for 循环中的列和内部 for 循环中的行。

在本课的下一部分有代码编写练习。